137 – Konstante zwischen Quantenphysik und Zahlenmystik

137

Es könnte Ihre  Hausnummer sein, die Nummer Ihrer Buslinie, mit der Sie täglich in London zwischen Hyde Park Corner Station und Sopwith Way pendeln, oder die Nummer des Paragraphen, der Ihnen im Staatsexamen den Schweiß auf die Stirn getrieben hat. Mathematisch gesehen ist 137 eine Primzahl und fristet wie ihre Brüder und Schwestern ihr unteilbares Dasein neben so illustren Verwandten wie der heiligen Zahl 7 oder der Unglückszahl  13.
Für den in Österreich geborenen Wolfgang Pauli (1900 – 1958), einen der bedeutenden theoretischen Physiker des vergangenen Jahrhunderts, hatte die 137 jedoch eine ganz andere Dimension: mystische Urkonstante!

Richard Phillips Feynman, wie sein Kollege Wolfgang Pauli Nobelpreisträger, wird folgender Satz zugeschrieben:
„Die Zahl 137 ist eines der größten und verdammten Mysterien der Physik: eine magische Zahl, die zu uns kommt, ohne dass sie jemand versteht. Man könnte sagen, die Zahl wurde von Gott geschrieben,
um uns zum Narren zu halten.“ (1)

Tatsächlich geht es bei der Zahl, die die Physiker bis heute  umtreibt, nicht um eine ganze Zahl, sondern um eine transzendente physikali-sche Konstante aus der Quantenphysik: 137.035 999 138...
Und – danke für ihr Verständnis – eigentlich ist der Kehrwert davon gemeint:  α (alpha) = 1  /137.035 999 138…  ≈  0.007 297 373

Der Quantenphysiker Sommerfeld (1868 – 1951)  nannte den von ihm bei der Untersuchung des Wasserstoffatom-Spektrums  im Jahr 1914 gemessenen Wert α  (alpha) oder Feinstrukturkonstante.
Von dieser Zahl hängen alle thermonuklearen Prozesse in den
Sternen ab, sie bestimmt die Größe aller Atome mit und fungiert
in mehreren Naturkonstanten wie eine mystische Urzahl.

Wolfgang Pauli, Schüler von Sommerfeld, suchte 1932 den Psy-
chiater Carl Gustav Jung auf, um sich von ihm behandeln zu lassen.
Jung analysierte etwa 400  von Pauli aufnotierte Träume, bei denen es immer wieder auch um bestimmte Zahlen ging, die die Physik denjenigen, die sich ihr voll und ganz hingeben, scheinbar uner-
bittlich aufzudrängen und zur Lösung anheimzustellen scheint.
So bemühten sich der Physiker und sein  Psychiater  um  eine  Brücke zwischen  psychischen und quantenphysikalischen Phänomenen, um möglicherweise den Hintergrund erhellen zu können, vor welchem sich die „verdammten Mysterien der Physik“ verstehen ließen.
Erfolg war ihnen nicht beschieden. (2)

Traditioneller, aber ebenso erfolglos, arbeiteten sich später so bedeutende Physiker wie Paul Dirac (1902 – 1984) und Richard Feynman (1918 – 1988) an einer nummerisch-rechnerischen Herleitung der Feinstrukturkonstante ab.

Im Folgenden stelle ich eine Zusammenfassung meiner eigenen Bemühungen um ein Verständnis der Feinstrukturkonstante dar.
Wir werden sehen, wie sich die Anatomie von α in einer Zahlen-spielerei  aufhellen lässt und welche Charakteristika dabei hervortreten.

Anatomie von α
Alpha ist dimensionslos, ein Zahlenwert ohne Einheit (wie z. B. Zentimeter oder Kilogramm).
 Diese Zahl lässt sich konventionell - parallel zum Messwert - auch aus einer Formel-Kombination von vier anderen Naturkonstanten ε0, h, c und e, berechnen: 

1/α = 2 ∙ε∙h ∙c / e2 (1)

  • ε0  elektrische Feldkonstante      8.854∙10-12 [Joule∙s]
  • h    Wirkungsquantum                 6.626∙10-34   [Joule∙s]
  • c    Lichtgeschwindigkeit             2.998∙108     [m/s]
  • e    elektrische Einheitsladung    1.602∙10-19 [Coulomb]

Die Formel (1) verknüpft die Quantentheorie (e, h) mit der Speziellen Relativitätstheorie (c, ε0 ) und ist damit ein zentrales Element der Quantenelektrodynamik. Wolfgang Pauli, Niels Bohr und Werner Heisenberg haben diese Theorie in den 1930er Jahren begründet. Louis de Broglie und Erwin Schrödinger gaben ihr das Outfit von stationären Wellen in der Elektronenschale des Atoms.

Numerologische Herleitung von α:
Die Feinstrukturkonstante – ein komplexer π-Term

1994 veröffentlichten die Brüder Dr. Karl und Bernhard Philberth in ihrem Buch Das All (Christiana Verlag, Stein am Rhein) folgende prägnante Formel:

α = (π28) / 256 = 0.007 303 142            Codata:   0.007 297 353
1/α = 256 / (π28) = 136.927 363  (2)   Codata : 137.035 999

Die Abweichung zwischen dem Philberth-Wert und dem Codata-Wert beträgt 800 ppm  (Millionstel). Diese elegante Formel enthält nur Zweier-Potenzen und die Kreiszahl π.  Allerdings weist sie keinen Bezug zu einer anderen Konstanten der Quantenphysik auf.

Eine gute Näherung fand ich 2013 bei der Weiterentwicklung der Philberth-Formel:
1/α = 1842.1527 ∙( π2 – 8) / 8π  = 137.036 255  (3)
Hier beträgt die Abweichung vom Codata-Messwert nur mehr
2 Millionstel oder 0.0002%.

Die Zahl 1842.1526 steht aber exakt für das (um 6 Elektronen-massen  vergrößerte) Massenverhältnis von Proton und Elektron mit dem exakten Wert 1836.152 672 45:
1842.152 672 45 = 6 + 1836.152 672   —  oder umgeformt: 1842.152 672 45 6 + 6∙π5 = 6 ∙(π5+1),
so dass Gleichung (3) nun so umgeformt werden kann:
1/α = ¾ ∙ (π5 + 1) ∙ (π2 – 8) /π  = 137.033 684 (4)
Die Abweichung vom Codata-Wert beträgt hier 18 ppm.
Da die Formel (2) das Massenverhältnis von Proton- zu
Elektronmasse ( ≈ 1836 ≈ 
6π5) enthält, ergibt sich hieraus
durch Umformung ein quantenmechanischer Bezug zum Wasserstoffatom:
1836.149 227 = 8π /([α∙(π2 – 8)] – 6  (Abweichung 2 ppm)
In dieser Formel finden die beiden Verhältnis-Konstanten α und 1836.153.. sowie die Universalkonstante π zusammen.

Geistert α auch durch das Universum?
Feynman sprach noch ganz unbestimmt von einem α-„Mysterium“ und Arthur Miller von einer „kosmischen Zahl“. Doch beide Wissen-schaftler vermögen dieses Geheimnis von α  weder im Makro- noch
im Mikrokosmos zu enträtseln. Dennoch lässt sich ein frappierend einfacher Zusammenhang zwischen dem Radius des kleinsten kosmischen Objekts, dem Proton, und dem Radius des Universums herstellen:
Verdoppelt man den klassischen Protonradius 1.41∙10-15 [m] etwa 136 mal nacheinander (2136), so erhält man 1.23∙10 26 Meter, das sind 13 Milliarden Lichtjahre – 6% weniger als der aktuelle Kosmos-Radius.
Zudem gilt: 2
136 = 8.71∙10  40 .
Vom dieser Zehnerpotenz 10 40 wurde der Physiker Paul Dirac (19021984) viele Jahre ähnlich umgetrieben, wie Wolfgang Pauli von der Sommerfeld-Konstante α).

Setzen wir jedoch den präzisen Kehrwert 1/α = 137.036 als Exponenten ein, so erhalten wir:
1.41∙10-15 m    ∙2 137.036 = 2.53∙1026 m = 26.7 Mrd Lichtjahre
(1.41∙10-15 m entspricht wieder dem klassischen  Protonradius.)
Hier drängt sich der provokante, fast   esoterisch anmutende Verdacht auf:    26.7 Milliarden Lichtjahre? – Könnte das nicht ein ultimatives Limit für den Expansionsradius unseres Kosmos sein? Dieser Radius würde, von einer lichtschnellen Expansion ausgehend, in 13 Mrd Jahren (ab Gegenwart) erreicht und die Expansion müsste bis dahin zum Stillstand gekommen sein.
Falls die Abbremsung in der letzten Phase der Expansion 100 Mio Jahre vor diesem Umkehrpunkt begänne, müsste die Abbremsung der Expansionsgeschwindigkeit nur 300 m pro Jahr betragen – ein kaum messbarer Bremseffekt.
In der darauf folgenden kosmischen Epoche von 26.7 Mrd. Jahren würde der Maxi-Kosmos bis zum Kollaps kontrahieren … gefolgt
von einer weiteren Expansionsphase:
Wir hätten ein pulsierendes Universum – im Doppeltakt von 53 Milliarden Jahren!
Doch verlassen wir diese kosmologische Fiction-Science-Welt.

Die Rolle der Feinstrukturkonstante α im Wasserstoff-Modell von Niels Bohr

Niels Bohr (1885 − 1962) betrachtete das positiv geladene Proton als Zentralmasse, welche von einem negativ geladenen Elektron im Abstand a0 = 5.29∙10-11 m umkreist wird.
D
ie Fliehkraft des Elektrons balanciert die elektrische Anziehungs-kraft zwischen Proton (+) und Elektron (-) aus. Die erforderliche Umlaufgeschwindigkeit des Elektrons beträgt enorme 2.1877∙106 Meter je Sekunde. Überraschenderweise ist dies der 137. Teil der Lichtgeschwindigkeit.

Feinstrukturkonstante und Protonradius bestimmen  den Radius des Wasserstoffatoms  im  Bohr-Modell (Grundzustand)

a0  =  l0∙1836.15 ∙137 / 2π  =  l/  3πα  =  5.29∙10-11 m
1836.12 ≈  6π Massenverhältnis Proton /Elektron    (18 ppm)

Hier drängt sich eine  Vermutung auf:
Da die Feinstrukturkonstante den Radius des Wasserstoffatoms mitbestimmt, könnte sie auch die Größe aller Atome und  Mole-küle determinieren.

Die Rolle der Feinstrukturkonstante beim Zusammenbruch eines sonnengroßen Sterns zu einem Weißen Zwerg
Da nach Karl und Bernhard Philberth die Wasserstoffatome im Weißen Zwerg durch die übermächtige Gravitation auf 1/137 des H-Atoms in der Sonne zusammengepresst sind, wird auch der Weiße Zwerg – zu welchem unsere Sonne einmal kollabieren wird – nur mehr 1/137 des heutigen Sonnenradius ausmachen:
RWZ = 696.000 km / 137 ≈ 5.080 km.
Dieser Wert (80% des Erd-radius) liegt in der Nähe des Radius, der sich aus komplexen astrophysikalischen Berechnungen ergibt.

Zurück zu Pauli – dem   „Schutzpatron“  dieses Blog-Beitrags.
Er entdeckte mit 25 Jahren das berühmte Ausschließungsprinzip,   das noch heute bei Problemen in der Quantenphysik Lösungshilfen bietet – wofür er den Nobelpreis erhielt.

Der Landsberger Autor Helmut Glatz hat hat ein anekdotisch dokumentiertes Phänomen, den Pauli-Effekt, ganz individuell und kreativ so ausgedeutet:

Der Pauli-Effekt
Der Wiener Physiker Wolfgang Pauli, von dem sein Mentor Max Born einmal sagte, er sei ein Genie, nur vergleichbar mit Einstein, entdeckte nicht nur das Ausschließungsprinzip, er postulierte nicht nur das Vorhandensein von  Neutrinos, deren Existenz erst 26 Jahre später empirisch nachgewiesen werden konnte, er war vor allem bekannt für den so genannten Pauli-Effekt.
Dieses seltsame Phänomen zeigte sich, kurz gesagt, folgender-maßen: Wo Pauli auftauchte, ging alles schief.
Physikalische Experimente misslangen, wertvolle Laboreinrich-tugen gingen kaputt und komplizierte Versuchsanordnungen kollabierten, sodass er seinerzeit von dem Physikerkollegen Otto Stern sogar Laborverbot erhielt.
Der   Pauli-Effekt   lautete folgendermaßen:
Es ist unmöglich, dass sich Wolfgang Pauli mit einem  funktio-nierenden Gerät im selben Raum befindet.
Mysteriös war ein Vorfall am physikalischen Institut zu Göttingen bei Professor James Franck:  Ein wertvoller Apparateteil ging zu Bruch, ohne dass Pauli dabei anwesend war. Erst im Nachhinein stellte sich heraus, dass der Professor, auf dem Weg von Zürich nach Hamburg, zur selben Zeit in Göttingen Station gemacht hatte.
Francks Vermutung, Pauli stecke hinter allem, war also nicht unbegründet.
Pauli arbeitete damals übrigens daran, den nach ihm benannten Effekt weiter auszubauen. Und bald gelang es ihm, seine Kräfte auch ohne persönliche Anwesenheit, also auf die Entfernung, wirksam werden zu lassen. Mit anderen Worten:
Wo immer in der Welt etwas kaputt ging – dahinter steckte Pauli.
Eine unschätzbare Hilfe war ihm bei diesen Bemühungen der Tiefenpsychologe Carl Gustav Jung in Zürich, mit dem ihn eine enge Freundschaft verband. Bei nächtlichen, feuchtfröhlichen Gesprächen erfanden die beiden den Begriff der Synchronizität und entwickelten die Vereinigung der kollektiven Psyche mit der Materie zu einer schlagkräftigen Methode.
(Bei diesen Forschungen entdeckten sie übrigens, ganz nebenbei, das feminine Geschlecht des bisher als sächlich geltenden Kollek-tiven Unbewussten.)
Und wozu das alles? Natürlich ging es ihnen nicht um die Lust am Zerstören, um das Abreagieren aggressiven Potentials oder ähn-
lichen Unsinn. Nein, Pauli transponierte (heute würde man sagen: beamte) die entsprechenden, „kollabierten“ Gegenstände hinüber in eine der Hugh-Everettschen Parallelwelten.
Das heißt, während sie (die Gegenstände) hier in unserer Welt der Zerstörung anheim fielen, feierten sie dort fröhliche Urständ.
Und Pauli? Und C. G. Jung?  Sie hocken, während sich draußen die Berge der Abwrackautos türmen, in einer gemütlichen Parallel-welten-Bar und schauen dem Tanz des Kollektiven Unbewussten zu.
… …
 Als Wolfgang Pauli am 5. Dezember 1958 mit starken Magenschmer-zen ins Krankenhaus vom Roten Kreuz in Zürich eingeliefert wurde, wies man ihm Zimmer Nummer 137 zu, wo er  zehn Tage später starb.  ……

Regenten im Makro- und Mikrokosmos
Alpha und Pi, die beiden
können sich gut leiden.
Zwillingsweise nah verwandt
sind sie bestens sich bekannt.

Philberth Karl sei hier geehrt,
Dass er dieses hat geklärt:
π = 16 • √(α+ 1/32)

Wolfgang Pauli, hochbeflissen,
konnt‘ dies bis zum Tod nicht wissen.

Pi und Alpha, Hand in Hand,
führ’n Regie im Mikroland.
Auch in des Universums Weiten
herrschen sie seit Ewigkeiten.

Licht von damals bringt die Kunde:
Pi und Alpha sind im Bunde,
hoch präzise eingetrimmt,
All-erhaltend abgestimmt.

Ewig mag der Weltgeist schlafen.
Seine Weltgesetze schaffen,
dass Sterne, Nebel, Galaxien
Superhaufen, Filamente
ohne Anfang, ohne Ende
auf gesetzten Bahnen ziehen.

Gravitation, die Ordnungsmacht,
bannt das Chaos, ist die Kraft,
Die Raum für Geist und Leben schafft.

Beim Kampf mit der Entropie
siegt das geistige Genie
in der irdischen Evolution  –
dies seit Jahrmilliarden schon –
über den kausalen Zwang.

Und final strebt nun der Gang
der organischen Kreatur –
trotzend  Tod und Untergang  –
nach vergeistigter Struktur.

Denn nach Hegels weisen Worten
ist das All bewusst geworden
seiner selbst im Menschengeist,
was ihm Lust und Last verheißt.

alpha (α) = 1/137   ist die Feinstruktur-Konstante von
Arnold  Sommerfeld.   Erstmessung   1916 in München

pi   (π)     = 3.141 59…   (Kreiszahl)
π  = 16 • √(1/137 + 1/32)

Quellen
Naturkonstanten (2014), in: Wikipedia

  • http://www.makro-und-mikrokosmos.de (diese Site)
  • (1)  zitiert nach Harald Fritzsch: Das absolut Unveränderliche : die letzten Rätsel der Physik – 2. Aufl. – München : Piper, 2005
    (2)  Für Interessierte zum Weiterlesen: Arthur I. Miller, 137 – Carl Gustav Jung, Wolfgang Pauli und die Suche nach der kosmischen Zahl.Copyright (2014)

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Arnold Sommerfeld           Wolfgang Pauli                    Max Planck

                 Niels Bohr                      Richard Feynman              Paul Dirac

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